秒词邦背单词APP(微信小程序)-【小学奥数题库

2020-04-18 10:44| 发布者: admin| 查看: |

分数裂项
 
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。

  1. 对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即 1
a ´ b
形式的,这里我们把较小的数写在前面,即 a b

那么有 1   =

1 ( 1 - 1)
 

a ´ b   b a  a   b
  1. 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即:

1
 

n ´ (n + 1) ´ (n + 2)
,   1
n ´ (n + 1) ´ (n + 2) ´ (n + 3)
形式的,我们有:

1   = 1 [   1   -   1   ]
   
n ´ (n + 1) ´ (n + 2)   2  n ´ (n + 1)   (n + 1)(n + 2)
1   = 1 [   1   -   1   ]
   
n ´ (n + 1) ´ (n + 2) ´ (n + 3)   3  n ´ (n + 1) ´ (n + 2)   (n + 1) ´ (n + 2) ´ (n + 3)
 
裂差型裂项的三大关键特征:
  1. 分子全部相同,最简单形式为都是 1 的,复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的,但是只要将x提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
  2. 分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”
  3. 分母上几个因数间的差是一个定值。
 
 
二、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:

(1) a b =

a   + b

= 1 + 1
 
a2 + b2
(2)
a   + b2

a b
 

a ´ b   a ´ b   a ´ b   b   a
裂和型运算与裂差型运算的对比:
a ´ b   a ´ b   a ´ b   b   a

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。

 
 
 【例 1   1    +    1    +    1    +    1 +   1   =   
    
 

1´ 2   2 ´ 3   3 ´ 4   4 ´ 5   5 ´ 6
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】美国长岛,小学数学竞赛

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【解析】原式= æ 1 - 1 ö + æ 1 - 1 ö +L + æ 1 - 1 ö = 1 - 1 = 5

ç   ÷   ç   ÷   ç   ÷
è   ø   è   ø   è   ø
1   6   6

提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为: 1 + 1 + 1 + 1 ,计算过程就要变为:
   

1    +    1    +    1 +   1   = æ 1 - 1 ö ´ 1 .
 
          
1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   7 ´ 9

1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   7 ´ 9   ç   ÷
【答案】 5
6
 
【巩固】   1   +   1   + ...... +   1
    
10 ´11   11´12   59 ´ 60
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【解析】原式= ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ...... + ( 1 -  1 ) = 1 -  1 = 1

【答案】 1
12
10   11   11   12   59   60   10   60   12

 

【巩固】   2

+ 2 +L +

2 + 2 =

 

10 ´ 9   9 ´ 8   5 ´ 4   4 ´ 3
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【解析】原式= 2 ´ æ 1 - 1 + 1 - 1 +L + 1 - 1 + 1 - 1 ö = 2 ´ æ 1 - 1 ö = 7

【答案】 7
15
ç 9   10   8   9   4   5   3   4 ÷
ç 3   10 ÷   15

 
【 例 2 1 + 1   +   1   + LL + 1
     
1   1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 +L + 100
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的

代入有1 =
1
1
 

(1 + 1) ´1
 

2
= 2
1´ 2
, 1 =
1 + 2
1
 

(1 + 2) ´ 2
 

2
= 2
2 ´ 3
,……,

原式= 2 +

2 + 2

+ LL +   2
= 2 ´ (1 -
1 ) = 200 = 1 99
      

【答案】1 99
101
1´ 2   2 ´ 3   3 ´ 4   100 ´101   101   101   101

【例 3   1    +    1    +    1 +L +   1   =
  
 

1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   99 ´101
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算

【解析】 1 + 1 + 1
 
+L +   1
= 1 ´ (1 - 1 + 1 - 1 +… + 1 -
  
1 )= 50
   

1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   99 ´101   2   3   3   5   99   101   101
【答案】 50
101
 

 
 
 
 
 
 
 
 
【巩固计算: 25 ´ æ  1   +   1   +   1   +L +   1   ö =ç 1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   23 ´ 25 ÷       
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】2009 年,迎春杯,初赛,六年级

【解析】原式= 25 ´ 1 ´ æ1 - 1 + 1 - 1 +L + 1 - 1 ö = 25 ´ 1 ´ æ1 -
 
    
1 ö = 25 ´ 24 = 12
 
    

2   ç   3   3   5   23   25 ÷   2   ç   25 ÷   2   25
è   ø   è   ø
【答案】12
 

【巩固】 251 +

251 +

251
+L +
251   +
251

4 ´ 8   8 ´12   12 ´16   2000 ´ 2004   2004 ´ 2008
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】2008 年,台湾,小学数学竞赛,初赛

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【解析】原式= 251 ´ æ   1   +   1   +   1   +L +   1   +   1   ö16   ç 1´ 2   2 ´ 3   3 ´ 4   500 ´ 501   501´ 502 ÷

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 251 ´ æ1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +L +  1  -   1  ö16   ç   2   2   3   3   4   501   502 ÷
è   ø
= 251 ´ 501 = 501 = 15 21
16   502   32   32

【答案】15 21
32
 
【巩固计算: 3   +   2   +   4   +   5   +   6   +
    

 
7   + 1 =

 

2 ´ 5   5 ´ 7   7 ´11   11´16   16 ´ 22   22 ´ 29   29
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【解析】原式= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1

【答案】 1
2
2   5   5   7   7   11   11   16   16   22   22   29   29   2

 

【例 4计算: (1 + 1
+ 1 + 1 + 1
+ 1 + 1
+ 1 ) ´128 =
 

8   24   48   80   120   168   224   288
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】2008 年,101 中学

【解析】原式=( 1
+ 1 + 1

+L +
1   )´128

2 ´ 4   4 ´ 6   6 ´ 8   16 ´18
= 1 ´(1 - 1 + 1 - 1 +L +  1  -  1 )´128

 
 
 
【答案】 28 4
9
2   2   4   4   6   16   18
=(1 - 1 )´ 64
2   18
= 28 4
9

【 巩 固 】 1 + 1 + 1
+ 1 + 1
+ 1 + 1 + 1 =
 

6   12   20   30   42   56   72   90
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】2008 年,第六届,走美杯,初赛,六年级
【解析】根据裂项性质进行拆分为:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
6   12   20   30   42   56   72   90
=   1   +   1   +   1   +   1   +   1   +   1   +   1   +   1
       
2 ´ 3   3 ´ 4   4 ´ 5   5 ´ 6   6 ´ 7   7 ´ 8   8 ´ 9   9 ´10
= 1 -  1 = 2
2   10   5

【答案】 2
5
 
【巩固】1 + 1 + 1 + 1

 
+ 1 + 1 + 1 =
 

3   6   10   15   21   28
【考点】分数裂项   【难度】6 星   【题型】计算
【关键词】2008 年,第 6 届,走美杯,6 年级,决赛
【解析】原式= 1 +   1   +   1   +   1   +L + 1
     
1 + 2   1 + 2 + 3   1 + 2 + 3 + 4   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
= 1 +   2   +   2 +L + 2
    
2 ´ 3   3 ´ 4   7 ´ 8
= 2æ 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +L + 1 - 1 ö
è   ø
 

 
 
 
 
= 2 ´ æ1 - 1 ö = 7ç   8 ÷   4
è   ø
【答案】 7
4
 

【巩固】计算: 1 - 1 - 1 - 1
- 1 - 1
- 1 - 1
- 1
 

2   6   12   20   30   42   56   72   90
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【关键词】2006 年,第 4 届,走美杯,6 年级,决赛

【解析】原式= 1 - ( 1 + 1 + 1
    
+   1   +   1

+    1    +   1   +   1   )
  

2   2 ´ 3   3 ´ 4   4 ´ 5   5 ´ 6   6 ´ 7   7 ´ 8   8 ´ 9   9 ´10
= 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 +L + 1 - 1 )
2   2   3   3   4   9   10

 
【答案】 1
10
= 1 - ( 1 - 1 ) = 1
2   2   10   10

 

 
 
【 巩 固 】 1 +  1  +  1  +  1  +   1   =   。10   40   88   154   238
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算

【解析】原式=
1    +   1   +   1   +   1   +   1
   

2 ´ 5   5 ´ 8   8 ´11   11´14   14 ´17

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 1 ´ æ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1  + 1  -  1  +  1  -  1 ö3   ç 2   5   5   8   8   11   11   14   14   17 ÷

 
 
 
 
 
 
 
 
= 1 ´ æ 1 - 1 ö = 53   ç 2   17 ÷   34
【答案】 5
34

【例 5 计算:   1   +   1   +   1   +L + 1
     
1´ 3 ´ 5   3 ´ 5 ´ 7   5 ´ 7 ´ 9   2001´ 2003 ´ 2005
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【关键词】2005 年,第 10 届,华杯赛,总决赛,二试

【解析】原式= 1 éæ 1 -
 
 
1 ö + æ 1 -
 

1   ö +L + æ   1   -
 

1   öù

4 êç 1´ 3   3 ´ 5 ÷ ç 3 ´ 5   5 ´ 7 ÷   ç 2001´ 2003   2003 ´ 2005 ÷ú
 

= 1 ´ æ 1 -
 

1   ö = 1004003
 
   

4
 
【答案】 1004003
12048045
ç 1´ 3   2003 ´ 2005 ÷
12048045

 

 
 

【例 6

7  ´ 4.5 + 0.16&
 18   ´ æ 1 + 1 + 1
 
 

+ 1 ö =
 

131
3
- 3.75 ´ 3.2
ç 3   15   35   63 ÷       

【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【关键词】2007 年,仁华学校

 
 
 
 
 
 
7 ´ 9 + 16 - 1【解析】原式= 18   2   90   ´ æ 1 + 1 + 1 + 1 ö
   

131
3
- 3 ´1.25 ´ 4 ´ 0.8
ç 1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   7 ´ 9 ÷

7 + 1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=   4   6 ´ 1 ´ æ1 - 1 + 1 - 1 + ××× + 1 - 1 ö

131 - 12   2 ç
3   3   5   7   9 ÷

è   ø
3
= 46 ´ 3 ´ 1 ´ 8 = 23

【答案】 23
36
24   4   2   9   36

 
【例 7计算:11 + 2 1 + 3 1 + 4 1 +L + 20 1
2   6   12   20   420
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【关键词】第五届,小数报,初赛

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
【解析】原式= (1 + 2 + 3 +L + 20) + æ 1 + 1 + 1 +  1  +L +   1  öç 2   6   12   20   420 ÷
= 210 +   1    +    1    +    1    +    1 +L +   1
      
1´ 2   2 ´ 3   3 ´ 4   4 ´ 5   20 ´ 21
= 210 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +L + 1 - 1
2   2   3   3   4   20   21
= 210 + 1 - 1 = 210 20

【答案】 210 20
21
21   21

 

 
 
【巩固计算: 2008 1 + 2009 1  + 2010  1  + 2011  1  + 2012  1   =   18   54   108   180   270
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】2008 年,学而思杯,6 年级,1 试
【解析】原式= 2008 + 2009 + 2010 + 2011 + 2012 +   1   +   1   +   1   +   1   +   1
    
3 ´ 6   6 ´ 9   9 ´12   12 ´15   15 ´18


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 2010 ´ 5 + 1 ´ æ 1 - 1 + 1 - 1 +L + 1 - 1 ö = 10050 59   ç 1   2   2   3   5   6 ÷   54
【答案】10050 5
54
 

 
 
【巩固计算: 1 + 1 + 2 +  2 +  4  =   2   6   15   35   77
【考点】分数裂项   【难度】2 星   【题型】计算
【关键词】2009 年,学而思杯,6 年级
【解析】原式= 1 + 3 - 2 + 5 - 3 + 7 - 5 + 11 - 7
2   6   15   35   77
= 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1
2   2   3   3   5   5   7   7   11
= 1 - 1  = 10
11   11
【答案】10
11
 
【巩固】计算: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
3   15   35   63   99   143   195
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【解析】分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为:3 = 22 - 1 = 1´ 3 ,15 = 42 - 1 = 3 ´ 5 ,……, 195 = 142 - 1 = 13 ´15 ,
所以原式=   1   +   1   +   1   +   1   +   1   +   1   +   1
      
1´ 3   3 ´ 5   5 ´ 7   7 ´ 9   9 ´11   11´13   13 ´15

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 1 ´ æ 1 - 1 ö + 1 ´ æ 1 - 1 ö +L + 1 ´ æ 1 - 1 ö2   ç 1   3 ÷   2   ç 3   5 ÷   2   ç 13    15 ÷
è   ø   è   ø   è   ø

 
 
 
 
 
 
 
 
= 1 ´ æ 1 - 1 ö = 72    ç 1  15 ÷   15
【答案】 7
15
 
【巩固计算: 1 + 5 + 11 + 19 + 29 +L + 9701 + 9899 =   

2   6   12   20   30   9702   9900
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【关键词】2008 年,四中

 
 
 
 
 
 
 
 
【解析】原式= æ1 - 1 ö + æ1 - 1 ö + æ1 - 1 ö +L + æ1 -   1 ö

ç   2 ÷ ç
6 ÷ ç
12 ÷   ç
9900 ÷

è   ø   è   ø   è   ø   è   ø
 

 
 
 
 
 
 
= 99 - æ   1    +    1  +L +   1   öç 1´ 2   2 ´ 3   99 ´100 ÷
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 99 - æ1 - 1 + 1 - 1 +L +  1  -   1 öç   2   2   3   99   100 ÷
è   ø
 

 
 
 
 
= 99 - æ1 - 1 ö = 98 1ç   100 ÷   100

 
 
【答案】98
è   ø
1
 

100

【例 8   1   +   1   +L +   1
    
1´ 2 ´ 3   2 ´ 3 ´ 4   7 ´ 8 ´ 9
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【解析】首先分析出    1   = (n + 1) - (n - 1)   = 1 é 1   - 1   ù
(n - 1) ´ n ´ (n + 1)   2(n - 1) ´ n ´ (n + 1)   2  (n - 1) ´ n   n ´ (n + 1)

 
原式= 1 ´ éæ 1 -
 


1 ö + æ 1
 


- 1 ö +L + æ 1
 

ê
- 1 ö + æ 1
 

úû
- 1 öù
 

2    êç 1´ 2   2 ´ 3 ÷ ç 2 ´ 3   3 ´ 4 ÷   ç 6 ´ 7   7 ´ 8 ÷ ç 7 ´ 8   8 ´ 9 ÷ú

 
 
 
 
 
 
= 1 ´ æ 1 - 1 ö

 
 
【答案】 35
144
2   ç 1´ 2   8 ´ 9 ÷
= 35
144

 
【巩固计算:   1   +   1   +L + 1
    
1´ 2 ´ 3   2 ´ 3 ´ 4   98 ´ 99 ´100
【考点】分数裂项   【难度】3 星   【题型】计算
【解析】原式= 1 ´ (  1   -   1   +   1   -   1   +   1   + ××× +   1   -   1   )
           
2   1´ 2   2 ´ 3   2 ´ 3   3 ´ 4   3 ´ 4   98 ´ 99   99 ´100

= 1 ´ ( 1 -

1   ) = 1 ´ 4949 =
 
4949
 

【答案】 4949
19800
2   1´ 2   99 ´100   2   9900   19800

 
【巩固计算:   1   +   1   +   1   +L + 1
     
1´ 3 ´ 5   2 ´ 4 ´ 6   3 ´ 5 ´ 7   20 ´ 22 ´ 24
<
>
秒词邦微信小程序是中国领先的只专注高考英语单词命题与出现规律的小程序,不同于市面上眼花缭乱,看起来高颜值手感好,但是对于高考本身的单词规律研究却极度同质化,市面上的单词书基本大同小异,因为要出版一本真正有良心的好书实在太耗脑力和精力以及成本。 秒词邦不惜花重金联合全国近100名高三骨干老师搜集了近十年以来差不多1000套试卷,分题型模块用专业的词频软件筛选出最核心必考的单词,并进行人工复审和一一挑选,并邀请中国高考命题研究中心其他成员监制和给出大量意见,从而开发出大家看到的这款产品,展现给全国的高中家长及同学们,希望能够快速有效的解决同学们的单词难题。

公司地址

湖南省长沙市高新区

19974934564(服务时间:9:00-18:00)

2841922010@qq.com

新浪微博 官方微信官方微信

联系我们

手机:19974934564
官方微信:miaocibang
微信小程序:秒词邦
网址:www.miaocibang.cn

返回顶部